Elipse
Definición y ecuación canónica de la elipse
Dados dos puntos F1F1 y F2F2 llamados focos, se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a ambos focos es constante:
E={P(x,y)|d(P,F1)+d(P,F2)=cte}E={P(x,y)|d(P,F1)+d(P,F2)=cte}
A esa constante la llamamos 2a2a.
Consideremos que los focos
son los puntos de coordenadas F1(–c,0)F1(–c,0) y F2(c,0)F2(c,0) con c>0c>0,
y el punto medio entre los focos, se denomina centro C(0,0)C(0,0). En el
siguiente esquema se pueden visualizar estos elementos:
Si la distancia entre los
focos es d(F1,F2)=2cd(F1,F2)=2c , la condición para que sea una
elipse es:
a>c>0a>c>0
Si elevamos al cuadrado:
a2>c2a2>c2
A la diferencia se la
llama b2b2:
a2–c2=b2a2–c2=b2
⇒a2=b2+c2⇒a2=b2+c2
Haciendo una deducción se
llega a:
x2a2+y2b2=1,a>b>0x2a2+y2b2=1,a>b>0
Es la ecuación canónica de
la elipse con centro (0,0)(0,0) y eje focal y=0y=0(eje xx).
Busquemos las intersecciones
con los ejes:
Si y=0:y=0: x2=a2⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)x2=a2⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)
Si x=0:x=0: y2=b2⇒y=±b⇒V3,4=(0,±b)y2=b2⇒y=±b⇒V3,4=(0,±b)
Estos cuatro puntos se
denominan vértices de la elipse.
aa se denomina semieje
mayor
bb es el semieje
menor
cc es la semidistancia
focal: (distancia del centro a un foco)
2c es la distancia entre los
focos
Eje focal: es la recta que
pasa por los focos, en este caso el eje x
Observen que el centro es
centro de simetría de la elipse.
Si en la ecuación canónica
anterior permutamos x por y ( x↔↔y) queda:
y2a2+x2b2=1,a>by2a2+x2b2=1,a>b
Es la ecuación canónica de
la elipse con centro(0,0)(0,0) y eje focal x=0x=0 (eje yy).
